Перепишем основную задачу линейного программирования в векторной форме: найти максимум функции

F=CX (4.5)

при условиях:

x

1

P

1

+

x

2

P

2

+… +

xnPn

=

P

0

(4.6)

Х

³

0 (4.7)

где C = (с1, с2,…, сn), Х = (х1, х2,…, хn); СХ - скалярное произведение; Р1, Р2,…, Рn и Р0 - m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи.

План X = (х1, х2,…, хn) называется опорным планом

основной задачи линейного программирования, если система векторов Pj, входящих в разложение (4.6) с положительными коэффициентами xj, линейно независима.

Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т.е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.

Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной, содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных. Haйдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

F=c1x1 + с2х2 (4.8)

при условиях:

ai

1

x

1

+

ai

2

x

2

£

bi

(

i

=1,

k

) (4.9)j

³

0 (i=1,2) (4.10)

Каждое из неравенств (4.9), (4.10) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1+ai2=bi (i=1, k), x1=0 и x2=0. В этом случае, если система неравенств (4.9), (4.10) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям.

Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то областью допустимых решений (ОДР)

задачи (4.8) - (4.10) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки области допустимых решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин ОДР целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня c1x1+c2x2=h (где h - некоторая постоянная), проходящую через ОДР, и будем ее передвигать в направлении вектора C=(с1; с2) до тех пор, пока она не пройдет через последнюю ее общую точку с многоугольником ОДР. Координаты указанной точки и определяю оптимальный план данной задачи.

При нахождении решения задачи могут встретиться случаи, изображенные на рис. 5.1-5.4

. Рис. 5.1 характеризует такой случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А. Из рис. 5.2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ.тметим, что нахождение минимального значения линейной функции при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тex же ограничениях лишь тем, что линия уровня c1x1+c2x2=h передвигается не в направлении вектора С, а в противоположном направлении.