Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:

Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.



Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.



Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.



Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.



Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Введем следующие условные обозначения:

a

- параметры модели;

x

- управляющие переменные или решения;

X

- область допустимых решений;

x

- случайные или неопределенные факторы;

W

- целевая функция или критерий эффективности (критерий оптимальности).

W

=

W

(

x

,

a,x

)

В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:

W

=

W

(

x

,

a,x)®

max

(

min

) (2.1)

x Î X

Решить задачу

- это значит найти такое оптимальное решение x





X

, чтобы при данных фиксированных параметрах 

и с учетом неизвестных 

факторов значения критерия эффективности Wбыло по возможности максимальным (минимальным).

W



=

W

(

x



,

a,x

) =

max

(

min

)

W

(

x

,

a,x

)

x Î X

Таким образом, оптимальное решение

- это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности (одному или нескольким).

Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:

Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.

Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.

Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.



Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой (сохранять свойства и структуру при этих воздействиях).

По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях

неизвестные факторы - это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). Среди стохастических характеристик можно выделить:

-

модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию (2.1)

, либо в ограничения (2.2

) входят случайные величины;

-

модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;

-

модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также - к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.

Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности